Nel corso del triennio superiore l'insegnamento della matemat ica prosegue
ed amplia il processo di preparazione scientifica e culturale dei giovani già
avviato nel biennio; concorre insieme alle altre discipline allo sviluppo dello
spirito critico alla loro promozione umana e intellettuale. In questa fase della
vita scolastica lo studio della matematica cura e sviluppa in particolare:
1. l'acquisizione di conoscenze a livelli più elevati di astrazione e
di formalizzazione;
2. la capacità di cogliere i caratteri distintivi dei vari linguaggi
(storiconaturali, formali, artificiali);
3. la capacità di utilizzare metodi strumenti e modelli matematici in
situazioni diverse;
4. l'attitudine a riesaminare criticamente e a sistemare logicamente le conoscenze
via via acquisite;
5. l'interesse sempre più penetrante a cogliere aspetti genetici e momenti
storicofilosofici del pensiero matematico.
Nei diversi indirizzi di studio l'insegnamento della matematica pur collegandosi
con gli altri contesti disciplinari per assumere prospettive ed aspetti specifici
conserva la propria autonomia epistemologicametodologica e persegue quindi
le stesse finalità.
Alla fine del triennio l'alunno dovrà possedere, sotto l'aspetto concettuale,
i contenuti prescrittivi previsti dal programma ed essere in grado di:
1. sviluppare dimostrazioni all'interno di sistemi assiomatici proposti o liberamente
costruiti;
2. operare con il simbolismo matematico riconoscendo le regole sintattiche di
trasformazione di formule;
3. utilizzare metodi e strumenti di natura probabilistica e inferenziale;
4. affrontare situazioni problematiche di varia natura avvalendosi di modelli
matematici atti alla loro rappresentazione;
5. costruire procedure di risoluzione di un problema e, ove sia il caso, produrle
in programmi per il calcolatore;
6. risolvere problemi geometrici nel piano per via sintetica o per via analitica;
7. interpretare intuitivamente situazioni geometriche spaziali;
8. applicare le regole della logica in campo matematico;
9. inquadrare storicamente l'evoluzione delle idee matematiche fondamentali;
10. cogliere interazioni tra pensiero filosofico e pensiero matematico.
Terzo Anno
1.a Trasformazioni per omotetia e per similitudine del piano euclideo. Proprietà
invarianti.
1.b Circonferenza, ellisse, parabola, iperbole nel piano cartesiano.
2.a Calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni.
2.b L'insieme dei numeri naturali: costruzione, divisibilità, algoritmo
euclideo, numeri primi, classi di resti.
2.c L'insieme dei numeri reali e sua completezza.
2.d Potenze a base reale positiva e ad esponente razionale. Operazioni su di
esse.
3.a Equazioni e sistemi di II grado. Disequazioni di II grado.
4.a Statistica descrittiva multivariata: matrice dei dati, tabelle a doppia
entrata, distribuzioni statistiche
(congiunte, condizionate, marginali). Coefficiente di correlazione.
5.a Regole d'inferenza nella logica dei predicati.
6.a Uno dei seguenti argomenti:
-- sistemi di rappresentazione delle conoscenze e di soluzione dei problemi;
-- implementazione di algoritmi numerici diretti e iterativi, controllo della
precisione.
Quarto Anno
1.a Lunghezza della circonferenza e misure angolari.
1.b Definizione geometrica di coseno e seno. Teorema del coseno e teorema dei
seni. Risoluzione dei triangoli.
1.c Incidenza, parallelismo, ortogonalità nello spazio. Angoli di rette
e piani, angoli diedri, triedri.
1.d Poliedri regolari. Solidi notevoli.
2.a Strutture algebriche fondamentali. Strutture d'ordine. Corrispondenze tra
insiemi strutturati.
2.b Numeri complessi.
2.c Confronto tra insiemi numerici infiniti.
3.a Potenza a base reale positiva e ad esponente reale. Logaritmo e sue proprietà.
Funzione esponenziale e logaritmica.
3.b Funzioni circolari. Formule di addizione e principali conseguenze.
6.a Uno dei seguenti argomenti:
-- formalizzazione del concetto di algoritmo. Esempi di funzioni non calcolabili.
-- Analisi statistica di testi.
Quinto Anno
1.a Le geometrie non euclidee dal punto di vista elementare.
1.b Il metodo ipoteticodeduttivo: concetti primitivi, assiomi, definizioni,
teoremi. Coerenza ed indipendenza di un sistema di assiomi. Sistemi formali
e modelli.
1.c Gli assiomi della geometria euclidea. Esemplificazioni di sistemazione assiomatica
in altri contesti.
4.a Valutazioni e definizioni di probabilità in vari contesti.
4.b Variabili aleatorie in una e in due dimensioni (casi finiti). Correlazione,
indipendenza, formula di Bayes.
4.c Variabili aleatorie discrete: distribuzione binomiale, geometrica, di Poisson.
7.a Principio di induzione. Progressioni aritmetica e geometrica. Successioni
numeriche e limite di una successione.
7.b Zeri di una funzione. Limite, continuità e derivata di una funzione
in una variabile reale.
7.c Studio e rappresentazione grafica di una funzione razionale.
7.d Il problema della misura: lunghezza, area, volume. Integrale definito.
7.e Funzione primitiva ed integrale indefinito. Calcolo di integrali immediati.
Nel corso del triennio superiore l'insegnamento della matemat ica prosegue
ed amplia il processo di preparazione scientifica e culturale dei giovani già
avviato nel biennio; concorre insieme alle altre discipline allo sviluppo dello
spirito critico alla loro promozione umana e intellettuale.
In questa fase della vita scolastica lo studio della matematica cura e sviluppa
in particolare:
1. l'acquisizione di conoscenze a livelli più elevati di astrazione e
di formalizzazione;
2. la capacità di cogliere i caratteri distintivi dei vari linguaggi
(storiconaturali, formali, artificiali);
3. la capacità di utilizzare metodi strumenti e modelli matematici in
situazioni diverse;
4. l'attitudine a riesaminare criticamente e a sistemare logicamente le conoscenze
via via acquisite;
5. l'interesse sempre più penetrante a cogliere aspetti genetici e momenti
storicofilosofici del pensiero matematico.
Nei diversi indirizzi di studio l'insegnamento della matematica pur collegandosi
con gli altri contesti disciplinari per assumere prospettive ed aspetti specifici
conserva la propria autonomia epistemologicametodologica e persegue quindi
le stesse finalità.
Alla fine del triennio l'alunno dovrà possedere, sotto l'aspetto concettuale,
i contenuti prescrittivi previsti dal programma ed essere in grado di:
1. sviluppare dimostrazioni all'interno di sistemi assiomatici proposti o liberamente
costruiti;
2. operare con il simbolismo matematico riconoscendo le regole sintattiche di
trasformazione di formule;
3. utilizzare metodi e strumenti di natura probabilistica e inferenziale;
4. affrontare situazioni problematiche di varia naura avvalendosi di modelli
matematici atti alla loro rappresentazione;
5. costruire procedure di risoluzione di un problema e, ove sia il caso, tradurle
in programmi per il calcolatore;
6. risolvere problemi geometrici nel piano per via sintetica o per via analitica;
7. interpretare intuitivamente situazioni geometriche spaziali;
8. applicare le regole della logica in campo matematico;
9. riconoscere il contributo dato dalla matematica allo sviluppo delle scienze
sperimentali;
10. inquadrare storicamente l'evoluzione delle idee matematiche fondamentali;
11. cogliere interazioni tra pensiero filosofico e pensiero matematico.
Terzo Anno
1.a Circonferenza,ellisse,parabola,iperbole nel piano cartesiano.
1.b Cambiamento del sistema di coordinate.
1.c Equazioni delle isometrie e delle similitudini. Proprietà invarianti.
Equazioni delle affinità.
1.d Lunghezza della circonferenza e misure angolari.
1.e Teorema del coseno e teorema dei seni. Risoluzione dei triangoli.
2.a L'insieme dei numeri naturali: costruzione, divisibilità, algoritmo
euclideo, numeri primi, classi di resti.
2.b Principio d'induzione. Progressioni aritmetica e geometrica. Successioni.
Successioni definite per ricorrenza.
2.c L'insieme dei numeri reali e sua completezza.
2.d Potenze a base reale positiva e ad esponente reale. Operazioni su di esse.
3.a Disequazioni di II grado. Equazioni e disequazioni fratte e irrazionali.
Sistemi di disequazioni.
4.a Statistica descrittiva multivariata: matrice dei dati, tabelle a doppia
entrata, distribuzioni statistiche (congiunte, condizionate, marginale).
4.b Regressione e correlazione.
5.a Regole d'inferenza e derivazioni nella logica dei predicati.
6.a Implementazione di algoritmi numerici diretti e iterativi, controllo della
precisione.
Quarto Anno
1.a Incidenza, parallelismo, ortogonalità nello spazio. Angoli di rette
e piani, angoli diedri, triedri.
1.b Poliedri regolari. Solidi notevoli.
2.a Numeri complessi e loro rappresentazione grafica. Radici n esime dell'unità.
2.b Strutture algebriche fondamentali. Strutture d'ordine. Corrispondenze tra
insiemi strutturati.
2.c Confronto tra insiemi numerici infiniti.
2.d Spazi vettoriali: struttura vettoriale in R 2 e in R 3 . Basi, trasformazioni
lineari. Risoluzioni di sistemi lineari. Struttura algebrica delle matrici di
ordine 2.
3.a Logaritmo e sue proprietà. Funzioni esponenziale e logaritmica.
3.b Funzioni circolari. Formule di addizione e principali conseguenze.
4.a Valutazioni e definizione di probabilità in vari contesti.
4.b Variabili aleatorie in una e in due dimensioni (casi finiti).Correlazione,
indipendenza, formula di Bayes.
4.c Variabili aleatorie discrete: distribuzione binomiale, geometrica, di Poisson.
6.a Convergenza di metodi iterativi. Algoritmi ricorsivi. Complessità
computazionale di algoritmi definiti in modo iterativo e in modo ricorsivo.
7.a Limite di una successione numerica.
7.b Zeri di una funzione. Limite e continuità di una funzione in una
variabile reale.
7.c Derivata di una funzione. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange, De L'Hopital.
Quinto Anno
1.a Le geometrie non euclidee dal punto di vista elementare.
1.b Il metodo ipoteticodeduttivo: concetti primitivi, assioni, definizioni,
teoremi: coerenza ed indipendenza di un sistema di assiomi. Sistemi formale
e modelli.
1.d Gli assiomi della geometria euclidea e dell'aritmetica.
4.a Distribuzioni continue. Distribuzione normale ed errori di misura nelle
scienze sperimen tali. Distribuzione uniforme. Distribuzione esponenziale.
4.b Legge dei grandi numeri (Bernoulli).
4.c Confronti tra le distribuzioni binomiale, di Poisson, normale (mediante
la costruzione di tabelle numeriche).
4.d Inferenza statistica: stima dei parametri per modelli semplici.
6.a Formalizzazione del concetto di algoritmo. Tesi di Church. Esempi di funzioni
non calcolabili. Esempi di problemi non decidibili.
7.a Il problema della misura: lunghezza, area, volume. Integrale definito.
7.b Funzione primitiva ed integrale indefinito. Teorema fondamentale del calcolo
integrale. Integrazione per sostituzione e per parti.
7.c Risoluzione approssimata di equazioni. Integrazione numerica.
Terzo Anno
1.a Circonferenza, ellisse, parabola, iperbole nel piano cartesiano.
1.b Cambiamento del sistema di coordinate.
1.c Equazioni delle isometrie e delle similitudini. Proprietà invarianti.
Equazioni delle affinità .
1.d Lunghezza della circonferenza e misure angolari.
1.e Teorema del coseno e teorema dei seni. Risoluzione dei triangoli.
2.a L'insieme dei numeri naturali: costruzione, divisibilità, algoritmo
euclideo, numeri primi, classi di resti.
2.b Principio d'induzione. Progressioni aritmetica e geometrica. Successioni.
Successioni definite per ricorrenza.
2.c L'insieme dei numeri reali e sua completezza .
2.d Potenze a base reale positiva e ad esponente reale. Operazioni su di esse.
3.a Disequazioni di II grado. Equazioni e disequazioni fratte e irrazionali.
Sistemi di disequazioni.
4.a Statistica descrittiva multivariata: matrice dei dati ,tabelle a doppia
entrata, distribuzioni statistiche (congiunte, condizionate, marginale).
4.b Regressione e correlazione.
5.a Regole d'inferenza e derivazioni nella logica dei predicati.
Quarto Anno
1.a Incidenza, parallelismo, ortogonalità nello spazio. Angoli di rette
e piani, angoli diedri, triedri.
1.b Poliedri regolari. Solidi notevoli.
2.a Numeri complessi e loro rappresentazione grafica. Radici n esime dell'unità.
2.b Strutture algebriche fondamentali. Strutture d'ordine. Corrispondenze tra
insiemi strutturati.
2.c Confronto tra insiemi numerici infiniti.
2.d Spazi vettoriali: struttura vettoriale in R 2 e in R 3 . Basi, trasformazioni
lineari. Risoluzioni di sistemi lineari. Struttura algebrica delle matrici di
ordine 2.
3.a Logaritmo e sue proprietà. Funzioni esponenziale e logaritmica.
3.b Funzioni circolari. Formule di addizione e principali conseguenze.
4.a Valutazioni e definizione di probabilità in vari contesti.
4.b Variabili aleatorie in una e in due dimensioni (casi finiti). Correlazione,
indipendenza, formula di Bayes.
4.c Variabili aleatorie discrete: distribuzione binomiale, geometrica, di Poisson.
7.a Limite di una successione numerica. Convergenza di metodi iterativi. Algoritmi
per il calcolo di II e di e.
7.b Zeri di una funzione. Limite e continuità di una funzione in una
variabile reale.
7.c Derivata di una funzione. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange, De L'Hopital.
Quinto Anno
1.a Le geometrie non euclidee dal punto di vista elementare.
1.b Il metodo ipoteticodeduttivo: concetti primitivi, assioni, definizioni,
teoremi: coerenza ed indipendenza di un sistema di assiomi. Sistemi formale
e modelli.
1.c Tesi di Church. Esempi di funzioni non calcolabili. Esempi di problemi non
decidibili.
1.d Gli assiomi della geometria euclidea e dell'aritmetica.
4.a Distribuzioni continue. Distribuzione normale ed errori di misura nelle
scienze sperimen tali. Distribuzione uniforme. Distribuzione esponenziale.
4.b Legge dei grandi numeri (Bernoulli).
4.c Confronti tra le distribuzioni binomiale, di Poisson, normale (mediante
la costruzione di tabelle numeriche).
4.d Inferenza statistica: stima dei parametri per modelli semplici.
7.a Il problema della misura: lunghezza, area, volume. Integrale definito.
7.b Funzione primitiva ed integrale indefinito. Teorema fondamentale del calcolo
integrale Integrazione per sostituzione e per parti.
7.c Risoluzione approssimata di equazioni.Integrazione numerica.
Gli argomenti di geometria indicati per il triennio sono in stretta connessione con gli argomenti suggeriti per il bi ennio e completano la formazione dell'alunno dandogli una visione, per quanto possibile, completa della disciplina. Proseguendo nello studio del metodo cartesiano si definiranno le coniche come luoghi geometrici e se ne scriveranno le equazioni saranno ottenute con riferimento a sistemi di assi coordinati opportunamente scelti. Il cambiamento degli assi coordinati consentirà di scri vere le equazioni delle isometrie, già studiate nel biennio in forma sintetica; da queste si passerà alle equazioni delle similitudini e quindi a quelle delle affinità e, attraverso la discussione sui punti uniti di una corrispondenza affine, alla classificazione di queste. Questo procedimento, che si inquadra nella concezione di Klein della geometria, ten derà a far vedere all'alunno il progressivo ampliamento dei relativi gruppi di trasformazione e come le proprietà che caratterizzano le diverse figure si restringono man mano che si passano dalla geometria della congruenza a quella affine.
Lo studio della trigonometria, ridotto all'essenziale, è fi nalizzata alla risoluzione dei triangoli; esso risponde anche alle necessità proprie delle altre scienze. Le dimostrazioni delle, principali proprietà dello spazio euclideo tridimensionale e dei solidi notevoli completano gli argomenti di geometria elementare; nello sviluppo dei vari argomenti l'intuizione avrà un ruolo determinante. La presentazione delle geometrie non euclidee non sarà fine a se stessa, ma servirà a chiarire il significato di assioma e di sistema ipoteticodeduttivo; la dimostrazione, per via elementare, di alcune proprietà fondamentali di tali geometrie e la costruzione di idonei modelli rappresenta tivi potranno essere precedute, se lo si ritiene didatti camete proficuo, dalla illustrazione dei più significativi ten tativi di dimostrazione del V postulato di Euclide. La rifles sione critica porterà l'alunno, a conclusione dei suoi studi secondari, a sistemare assiomaticamente la geometria eu clidea, ed eventualmente anche altri contesti, e quindi a recepire il concetto di teoria matematica formalizzata ed il senso delle relative problematiche metateoriche. Nell'indirizzo ScientificoTecnologico con gli argomenti del sottotema 1 C del V anno saranno esposte le basi della teoria della computabilità con un livello di approfondi mento adeguato alle basi culturali degli alunni.
Nel presentare le questioni aritmetiche il docente potrà accennare ai problemi ancora aperti, anche allo scopo di far vedere come la matematica non sia una scienza conclusa. La presentazione della classe di resti serve a dare all'alunno un esempio significativo di insiemi finiti. Per definire i numeri reali si potrà fare ricorso alle sezioni di Dedekind o ad altri metodi; in ogni caso la definizione sarà collegata con la proprietà di completezza del loro insieme. L'introduzione dei numeri complessi si avvarrà anche dell'uso delle coordinate polari e sarà accompagnata da nu merose e varie applicazioni; ad esempio le radici n esime dell'unità potranno essere collegate con il problema di in scrivere un poligono regolare di n. lati in una circonferenza. Il confronto fra insieme numerici infiniti dovrà far risaltare la differenza tra la potenza del numerabile e quel la del continuo. Le strutture algebriche e d'ordine saranno introdotte non come una classificazione teoricoformale, ma come ambienti operativi i cui elementi possono essere di varia natura e nei quali è possibile risolvere classi di problemi diversi; in particolare sarà opportuno stimolare l'osser vazione di proprietà strutturali nella composizione di trasformazioni geometriche. Al concetto generale di spazio vettoriale e di trasfor mazione lineare si perverrà attraverso l'analisi di casi con creti in vari contesti scientifici. Lo studio dei sistemi lineari, che riprende un argomento già iniziato nel biennio, mira a privilegiare l'esame delle operazioni che trasformano un sistema lineare in altro ad esso equivalente. In tal modo si potrà giungere, ad esempio, alla "triangolazione" della ma trice dei coefficienti. Lo studio delle matrici offre un esem pio particolarmente semplice e significativo di anello non commutativo.
Riguardo alle equazioni e disequazioni fratte o ir razionali si sottolinea l'opportunità di non insistere nella loro complessità e ripetitività, dovendosi privilegiare sem pre, più che la risoluzione fine a se stessa, la compren sione delle loro caratteristiche e delle procedure da seguire, in ogni caso si considereranno soltanto quelle che, ridotte a forma intera, portano ad equazioni o dise quazioni di secondo grado. Gli esercizi di applicazione dei concetti di esponen ziale e logaritmo saranno limitati ai casi più semplici; per il calcolo del logaritmo di un numero o del numero di dato logaritmo si farà ricorso a strumenti automatici di calcolo. Lo studio delle funzioni circolari è limitato al teorema della somma e sue immediate conseguenze. Anche per la determinazione dei valori di tali funzioni ci si avvarrà di strumenti automatici.
Gli elementi di calcolo delle probabilità e statistica rispondono all'esigenza di abituare l'alunno ad effettuare modelizzazioni di situazioni in condizione di incertezza. A questo fine è preferibile che la statistica preceda il calcolo delle probabilità, in quanto atta a fornire semplici modelli capaci di aprire la problematica concettuale delle probabilità. Inoltre la statistica descrittiva multivariata è così lungamente utilizzata nella pubblicistica quotidiana che appare molto opportuno e naturale il suo inserimento precoce nella scuola. Per quanto riguarda il calcolo delle probabilità l'allu sione ai vari contesti in cui si valutano queste probabilità conduce alle diverse "definizioni" di probabilità che sono state storicamente proposte; definizioni che non saranno presentate come antitetiche l'una all'altra, ma che si inte grano reciprocamente, potendosi usare in ogni contesto applicativo quella che appare più opportuna nello stato di informazione in cui si sta operando. Una possibile sintesi tra le varie definizioni sta nella formalizzazione assiomati ca della teoria, che va presentata e motivata sia da un punto di vista storico, sia secondo una giustificazione di comodità per lo sviluppo dell'intera teoria, sia per fornire un ulteriore esempio di teoria matematica espressa in forma ipoteticodeduttiva. Questo esempio potrà utilmente essere accostato a quelli di geometria e di insiemi numerici per consentire quella sintesi finale che è il ripensamento del metodo matematico. Le semplici distribuzioni di probabilità che saranno trattate sono sufficienti a dare indicazioni non banali sulla problematica di questa parte del calcolo delle probabilità, anche perché sono particolarmente ricche di applicazioni in vari contesti: fisico, biologico, economico, applicazioni che saranno utilizzate per meglio mettere in luce gli aspetti peculiari dei diversi modelli (binomiale, poissoniano ecc.) Particolare cura sarà posta nel ricordare le basi storiche e filosofiche (Pascal, empirismo inglese ecc.). Lo studio della curva normale, introdotta anche speri mentalmente, e delle altre distribuzioni fornisce esempi s ignificat ivi per l 'applicazione di metodi e concett i dell'analisi, in particolare attraverso l'esame dei legami tra le distribuzioni binomiale e poissoniana, binomiale e nor male e mediante la costruzione numerica di tabelle ap prossimate. La legge dei grandi numeri fornisce un anello che lega i problemi statistici e i modelli probabilistici permettendo di introdurre già alcuni esempi significativi di inferenza. Il problema degli errori di misura, visto anche in vari contesti disciplinari (fisica, biologia), permette di intro durre altri esempi centrali di inferenza e di mettere in luce aspetti importanti dei problemi di stima dei parametri.
La conoscenza delle regole di inferenza e derivazione nella logica dei predicati conclude lo studio degli elementi di logica fatto nel biennio.
Il sottotema "Implementazione di algoritmi numerici di retti ed iterativi, controllo della precisione", previsto per il terzo anno, si articola sui seguenti argomenti: risoluzione di sistemi lineari (2x2); approssimazione di soluzioni di equazioni (bisezioni), costruzione di successioni. Questo studio continuerà nel quarto anno come "Con vergenza di metodi iterativi. Algoritmi ricorsivi. Comp lessità computazionale di algoritmi definiti in modo iterati vo ed in modo ricorsivo", con la risoluzione più generale di sistemi lineari, la ricerca di valori delle funzioni consid erate, la verifica di convergenza di successioni. In partico lare saranno considerati metodi approssimati del calcolo di p e del numero e. Il calcolo della complessità computazionale si limiterà alle considerazioni di semplici e significativi problemi (ad esempio, ordinamento e ricerca). Nel sottotema "Formalizzazione del concetto di algorit mo. Esempi di funzioni non calcolabili" saranno esposte le basi della teoria della computabilità con un livello di ap profondimento adeguato alle basi culturali degli alunni.
L'argomento degli zeri di una funzione riprende quanto è stato svolto in precedenza e porta alle soluzioni di equazioni algebriche o trascendenti; nel trattare le prime, le cui soluzioni sono da ricercare nel campo dei numeri complessi, il docente potrà fare cenno al problema fonda men tale dell'algebra; per le seconde si limiterà alle equazioni goniometriche fondamentali. Dal concetto di limite di una successione si passa a quello di limite di una funzione di una variabile. L'intro duzione di questo concetto e di quelli di continuità, deriv abilità ed integrabilità sarà accompagnata da un ventaglio quanto più ampio possibile di loro impieghi in ambiti matematici ed axtramatematici ed arricchita della presen tazione ed illustrazione di opportuni controesempi che serviranno a chiarire i concetti stessi. L'alunno sarà abituato all'esame di grafici di funzioni algebriche e trascendenti ed alla deduzione di infor mazione dallo studio di un andamento grafico; appare anche importante fare acquisire una mobilità di passaggio dal grafico di una funzione a quello della sua derivata e di una sua primitiva.
Il problema della misura sarà affrontato con un approc cio molto generale, con particolare riferimento al calcolo della lunghezza della circonferenza e dell'are del cerchio, e va inquadrato preferibilmente sotto il profilo storico. Il concetto di integrale scaturirà poi in modo naturale dalla necessità di dare metodi general i per il ca lcolo di lunghezze, aree, volumi. Gli argomenti di analisi numerica saranno rappresenta tivi di problemi risolvibili mediante metodi "costruttivi" che permettono, con una precisione arbitraria ed in un numero finito di passi eseguibili da un calcolatore, la determi nazione delle loro soluzioni. Indicazioni didattiche (comuni a tutti gli indirizzi) Nel ribadire le indicazioni didattiche suggerite nel pro gramma per il biennio, si insiste sulla opportunità che l'in segnamento sia condotto per problemi; dall'esame di una data situazione problematica l'alunno sarà portato, prima a formulare una ipotesi di soluzione, poi a ricercare il pro cedimento risolutivo, mediante il ricorso alle conoscenze già acquisite, ed infine ad inserire il risultato ottenuto in un organico quadro teorico complessivo; un processo in cui l'appello all'intuizione sarà via via ridotto per dare più spazio all'astrazione ed alla sistemazione razionale. A conclusione degli studi secondari scaturirà così natu ralmente nell'alunno l'esigenza della sistemazione as siomatica dei temi affrontati, della geometria come di altri contesti, sistemazione che lo porterà a recepire un proced imento che è diventato paradigmatico in qualsiasi ricerca ed in ogni ambito disciplinare.
Si ricorda che il termine problema va inteso nella sua accezione più ampia, riferito cioè anche a questioni in terne alla stessa matematica; in questa ipotesi potrà risultare didatticamente proficuo storicizzare la questione presentandola come una successione di tentativi portati a livelli di rigore e di attrazione sempre più spinti; sono stati a riguardo ricordati il processo che portò alle geometrie non euclidee e quello che sfociò nel campo integrale. In questo ordine di idee il docente, nel trattare i vari ar gomenti, sfrutterà anche ogni occasione per illustrare ed ap profondire, eventualmente con il concorso del collega di filosofia ed attraverso la lettura di passi significativi di testi classici, alcune questioni di epistemologia della matematica. L'insegnamento per problemi non esclude però che il docente faccia ricorso ad esercizi di tipo applicativo, sia per consolidare le nozione apprese dagli alunni, sia per fare acquisire loro una sicura padronanza del calcolo. È comunque opportuno che l'uso dell'elaboratore elet tronico sia via via potenziato utilizzando strumenti e meto di propri dell'informatica nei contesti matematici che ven gono progressivamente sviluppati; mediante la visualiz zazione di processi algoritmici non attuabile con elabo razione manuale, esso consente anche la verifica speri mentale di nozioni teoriche già apprese e rafforza a sua volta negli alunni l'attitudine all'astrazione ed alla formaliz zazione per altra via conseguita.
Nell'indirizzo ScientificoTecnologico il docente terrà presenti le connessioni della matematica con le discipline tecniche dell'indirizzo e darà a ciascun argomento uno sviluppo adeguato alla sua importanza nel contesto di queste discipline. L'alunno sarà così dotato di rigorosi metodi di analisi, di capacità relative alla modellizzazione di situazioni anche complesse, di abilità connesse con il trattamento di dati, che lo metteranno in grado di effettuare in ogni occasione scelte consapevoli e razionali. Nel contesto di una ripartizione annuale i contenuti sono raggruppati per "temi": il docente avrà cura di predisporre il suo itinerario didattico in modo da mettere in luce analogie e connessioni tra argomenti appartenenti a temi diversi o i diversi aspetti di uno stesso argomento. Per la verifica si confermano i criteri generali suggeriti nel programma per il biennio: nelle verifiche scritte il docente porrà particolare attenzione agli aspetti progettuali.